How (and why) to take a logarithm of an image
3Blue1Brown
0:00 AI.
0:01 criblate.com]كلمرةبعملفيهاواحدمنهالفيديوهات،بيكونأحيانًافيلحظةمميزةيكونفيهافعلالتحريكنفسهعبارةعنحلمجموعةكبيرةمنالألغازالتقنيةالصغيرة،وبعدهاالرياضياتالليبحاولأشرحهابتوضحليبطريقةماكانتواضحةمنقبلأولماأشوفهاحيةعلىالشاشة.
1:01 1956،اسمهامعرضالمطبوعات،أوبالهولندية،برينتنتنتونستيلينغ.
1:23 paradoxيةأوأنماطهندسيةممتعةبشكلفريدومعهانوعمنالشخصية.
1:43 2003،قدمعالماالرياضياتديسميتولينستراتحليلًاممتعًاجدًالمايحدثفعلًافيهذهالقطعة،وللحلقةالمنغلقةعلىنفسهاوالمذهلةللعقلالتينجحإيشرفيتحقيقها.
3:58 بـ256مرةمنالأصل.
5:10 بـ16مرةمنالأصل،وهذايخليكلشيءأسهلبكثيرعشانينشافدفعةوحدة.
5:27 16مرةعلىزواياالمربعالأربع.
5:38 2،راحنأخذاللييكونفيأعلىاليسارمنالنسخةالمكبرةونحطهبعدينفيأعلىاليسارمنمساحةالعملعندنا.
5:49 2،ثمخذأعلىاليمينمنالنسخةالمكبرة،وحطنسخةموسعةمنهفيأعلىاليمينمنمساحةالعمل.
6:01 2،خذالليفيأسفلاليمينمنالنسخةالمكبرة،كبّره،وحطهفيأسفلاليمينمنمساحةالعمل.
6:28 بـ16مرة.
7:07 256،لذلكتوزيعهذاالعاملعلىالزواياالأربعكانبالنسبةلهيتطلبتحجيمًابمقدارأربعةكلماانتقلتمنزاويةإلىالتالية.
7:26 And if you look closely at his grid,
7:28 say at one of the squares on the lower right,
7:30 notice how if you follow the top and bottom
7:33 lines bounding that square over to the lower
7:35 left of the image,
7:36 those same lines end up enclosing a square that is now four times as
7:40 big.
9:48 16.
13:51 i،المعرّفعلىإنهالجذرالتربيعيلـ -1،وكلنقطةثانيةعلىهذاالمستوىتمثلنوعًامامزيجًامنعددحقيقيمعمضاعفحقيقيلـ
14:02 i.
14:05 zللإشارةإلىعددمركبعام،واللعبةاللينبغىنلعبهاهيإننانفهمدوالمختلفةلـ z.
14:14 zفيثابتمعيّن.
14:16 fلـ zتساوي 2في z،وتأثيرهاهوإنهاتكبّركلشيءبعاملمقداره 2.
14:25 i،الجذرالتربيعيللسالبواحد؟طيب،أنتتعرفإنضربالواحدفي iيعطيك i،وبحسبالتعريف،
14:32 iفي iيساويسالبواحد.
14:37 90درجة،وبشكلأعم،ضربأيقيمة zفي iيعطيتأثيردوران 90درجة.
15:00 cيساوينفسذلكالثابت c.
15:08 cاللينتكلمعنه،وهذايحددبالكاملمقدارالتكبيروالدوران.
15:35 zبـ zتربيع.
15:37 2لازمينتقلإلى 2تربيع،الليهو 4.
15:41 iلازمينتقلإلى iتربيع،الليهوسالب 1.
15:45 1نفسهفلازمينرسمإلىموجب 1.
16:27 zتربيعتعتبردالةمطابقةالزوايا.
16:31 zتربيعهنافعلًاموشيءمميزبحدذاته.
16:35 zإلى zتكعيب.
17:06 zتربيعأو zتكعيب.
17:26 x وy،وكتبتدالةعشوائيةفي
17:28 x وyلتعطيكزوجًاجديدًامنالأعداد،فالشيءالأكثرشيوعًابكثيرجدًاعندماتتحولنقاطفضاءالإدخالهذاهوإنمخرجاتتلكالمربعاتالصغيرةتنضغطوتتشوه.
18:09 xوالمخرجاتعلىمحور y،فكلماتكبّرأكثروأكثرعلىأينقطةمعينةفيهالرسم،بتصيرتبانأكثروأكثركأنهاخطمستقيم.
18:20 Δfمقابل Δxمعيّن،بيقتربمنقيمةثابتة.
21:40 e^zواللوغاريتمالطبيعي.
22:03 eلقوةعددعقدي،بسالمراجعةمابتضرأبدًا.
22:16 eللقوة 0بتساوي 1،فهايالنقطةعند 0بتننتقللهايالنقطةعند 1.
22:25 1،المخرجبيكبربعامل e،يعنيبصراحةبيهربمنابسرعةكبيرة.
22:39 e.
23:16 eللقوة zلطيفةجدًا،مقارنةبالدوالالأسيةذاتالأسسالثانية،هوإنكلمامدخلكيطلعللأعلىبسرعة
23:24 1وحدةبالثانية،المخرجبيلفحولدائرتهبسرعة 1راديانبالثانيةبالضبط.
23:32 2بايبالضبطبتسببدورةكاملةواحدةفيالمخرج.
23:42 2بايبالضبط،بتنرسمبشكلمرتبعلىدائرةكاملةواحدةلماتطبقالدالة.
23:54 1لليبعدهيزيدبمقدار 1.
24:02 e.
24:06 zتربيع،كنتعرضتهاكتحويليحرككلالمدخلاتإلىالمخرجات.
24:12 eللقوة z،إذاكنتفضوليتشوفكيفبتطلعنفسالفكرة،فأسهلشيإنكتاخذجزءمنالشبكة،مثلهالجزءمنفضاءالإدخال،وهايهيالصورةلماتنقلكلمربعإلىالمخرجالمقابلإله.
24:45 zكلهعلىشكلأنبوب،بحيثتصيركلهالخطوطالعموديةدوائر.
24:52 2باي.
25:24 eأسصفرتساويواحد،لكن eأس 2πiتساويأيضًاواحد.
25:30 eأسسالب 2πi وeأس 4πiوهكذا.
25:39 2π،كلهبينضغطويندمجمعبعضلمايلتفهذاالخطالعموديكأنهينلفإلىدائرة.
25:46 many-to-one،رغمإنهقدلايكونواضحًاكيفإنهذاالتكرارفيالاتجاهالعموديبيكونعنصرًاأساسيًافيإعادةصنعتأثيرمعرضالمطبوعاتفيالنهاية.
26:43 2πتتحولإلىدائرةلماتطبّقالدالة eأس z.
26:58 eمرة،فهيأيضًاراحتنفردإلىخطلهنفسالارتفاعومكانهمنزاحوحدةواحدةإلىاليسار.
27:20 2π،وتكونأبعدفأبعدإلىاليسارفيالصورة.
27:47 0إلى 2π،لكنهذافيالحقيقةاختيارنوعًامااعتباطي.
27:53 zعلىاليسارترتفعبمقدار 2πإضافية،فالقيمةالمقابلة
27:56 eأس zعلىاليمينراحتواصلفقطالدورانحولنفسالدائرةمرةثانية،لذلكأتوقعإنكتوافقنيإنهيبدوعلىالأقلمغريًاإننانخليالصورةتتكررفيهذاالاتجاهالعموديعلىامتدادكلواحدمنهذهالخطوطالعمودية.
28:32 zفيهذاالمستوىعلىاليسار،تنظرإلىالقيمةالمقابلة eأس
28:36 zعلىاليمين،ثمتعطيهالونًامطابقًا.
28:54 eأس zهي
28:55 many-to-one،فالإحساساللييوصلناهوإناللوغاريتمالطبيعي،باعتبارهمعكوسها،كأنهيريديكوندالةمتعددةالقيم،شيءيكونفيهدخلواحديقابلهعدةمخارجمختلفة.
29:22 branch cutللدالة.
29:38 2π،وتمتدبلانهايةفيالاتجاهين.
30:15 wعلىهذاالمستوىالليعلىاليمين،وبرضهتنظرإلى 16ضعفهذيالقيمة،يعنيمكبّرةومبتعدةعنالأصلبمقدار
30:22 16مرة.
30:27 wعلىاليسار،فعمليةالضربفي 16تصيركأنهاجمع،وتحديدًاإزاحةإلىاليمينبمقداراللوغاريتمالطبيعيلـ
30:35 16،وهومجردعددحقيقي.
30:45 log 16وارتفاعه 2 pi،يحتويكلالمعلوماتعنالصورةالليعلىاليمين.
30:56 log 16بالضبط،راحتحصلعلىنسخةمصغّرةمنهذهالحلقةأصغرتمامًابـ
31:02 16مرة،وتدخلفيهابشكلمثاليكأنهاقطعةبازل.
32:26 30ثانيةسريعةفينقطةمامنهذاالفيديوعشانأتكلمعن 3b1b
32:30 talent،فالحينيبدووقتمناسبمثلأيوقتثاني.
32:51 3b1b.co.
32:52 talent.
34:02 somehowبالنسخةالأصغرالمشابهةذاتيًا،بعدتكبيرللداخلبمقدار 16مرة.
35:33 10دقايقبنتكلمبالتفصيلعندالةبتحوّلمقاطعالخطوطإلىدواير،وهي e^z.
35:44 2π،ودهفيالأساسبيرجعإلىإنكتلفهاوتكبّرهاأوتصغّرهابالطريقةالمظبوطةعشانتاخدالطولوالاتجاهدول.
36:20 z₀،وساعتهاديهتبقىشكلالصيغةبعدالتحديثللدورانوتغييرالمقياس،لكنفعليًامعظمالموضوعبيرجعلاختيارالثابت cالليهتضربفيه،ولوبتحبالتمارين،ممكنتستمتعفعلًالووقفتلحظةوحاولتتطلعالقيمةالمحددةالليلازمياخدهاالثابتده.
38:29 256،فالبلاطاتالمتكررةفيهالمثالالجديدتمتدفعليًاعلىجزءأوسعمنالمستوىالعقدي.
38:47 2πوحدةعموديًا،لكنعلىطولجزءمنالصورةكانقبلبشكلقطري.
38:56 eأس z،والنتيجةشيءقريبجدًامنصورةأسشرالنهائية،صورةيكونفيهاالمشيحولحلقةمساويًاللتقريبللداخلبمعامل
39:05 256.
40:02 90درجةوتغييرالمقياسبالمقدارالمناسب.